일단 わけ는 '의미', '이유' 등의 뜻을 가진 단어입니다.

원래는 자주 쓰이진 않는 표현이었지만 젊은 세대들이 아무데나 갖다 쓰면서 막 쓰이게 됐습니다.

～したわけ도 동일합니다. 일종의 신조어로 '문장의 내용을 강조'하고 싶을 때 씁니다.

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したこと는 문체가 좀 딱딱하고 문어적이고,

したんじゃ는 활용처가 비교적 적으며

-んだ 문법을 쓰기 때문에 개인의 감정과 주관적인 서술이라는 느낌이 강합니다.

일본은 개인의 감정이나 생각을 강조하는 것을 별로 좋게 보지 않는 문화이므로

학생이라면 몰라도 성인이 아무 때나 쉽게 쓰면 그닥 좋은 눈길을 받지 못합니다.

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～したわけ 역시 주관적인 강조를 하는 문형이지만

んだ보다는 우기거나 내멋대로 한다는 느낌이 덜하기에 자주 쓰이는 것입니다.

다만 이쪽도 비격식 구어체이기 때문에 성인이 아무데서나 쓰는 것은 바람직하지 않습니다.